联大学堂《复变函数论（信阳师范学院）》题库及答案

1、证明z平面上的直线方程可以写成az+az=c（a是非零复常数，c是实常数）

正确答案：设直线方程|代入|反之

2、证明：n次代数方程P（z）=a0z^n+a1z^^n-1+.+an-1z+an=0（a0≠0）有且仅有n个根。

正确答案：儒歇定理|有|仅有

3、证明方程e^z-λ=z（λ>1）在单位圆|z|<1内恰有一个根，且为实根。

正确答案：解析|模比较大小|儒歇定理|介值定理

4、证明方程e^z-e^λz^n=0（λ>1）在单位圆|z|<1有n个根。

正确答案：解析|模比较大小|儒歇定理

5、设D是周线C的内部，f（z）在区域D内解析，在闭域D=D+C上连续，其模|f（z）|在C上为常数，试证：若f（z）不恒等于一个常数，则f（z）在D内至少有一个零点。

正确答案：最大模原理|最小模原理|有界闭域上连续

6、设（1）f（z）在区域D内解析；（2）在某一点z0∈D有f^（n）（z0）=0，n=1，2.试证f（z）在D内必为常数。

正确答案：泰勒定理|解析|惟一性定理

7、设f（z）在z平面上解析，且|f（z）|恒大于一正的常数，试证f（z）必为常数。

正确答案：刘维尔定理|1/f（z）有界整函数|常数

8、试证函数f（z）=e^x（xcosy-ysiny）+ie^x（ycosy+xsiny）在z平面上解析。

正确答案：二元函数可微（或偏导连续）|C.―R.方程|解析

9、试证函数f（z）=x^3-3xy^2+i（3x^2y-y^3）在z平面上解析。

正确答案：二元函数可微（或偏导连续）|C.―R.方程|解析

10、证明复平面上的圆周可以写成Azz+βz+βz+c=0其中A，C为实数，A≠0，β为复数，且|β|^2>AC

正确答案：设圆周方程|代入|反之

11、将函数z^2（z-1）/z+1在圆环0<|z|<1内展为洛朗级数。

正确答案：利用公式|展开|洛朗级数

12、将函数（z^2+1）（z-2）/z^2-2z+5在圆环1<|z|<2内展为洛郎级数。

正确答案：利用公式|展开|洛朗级数

13、将函数z+1/z-1按z-1的幂展开，并指明其收敛范围。

正确答案：利用公式展开|泰勒级数|收敛范围

14、将函数z^2-2z+5/z按z-1的幂展开，并指明其收敛范围。

正确答案：展开|泰勒级数|收敛范围

15、设c表圆周x^2+y^2=3，f（z）=∫cζ-z/3ζ^2+7ζ+1dζ，求f（1+i）。

正确答案：解析|柯西积分公式|代入

16、计算积分∫cz^2-1/sin4/πzdz，c：|z+1|=2/1。

正确答案：解析|柯西积分公式|代入

17、验证u=x^2+xy-y^2是z平面上的调和函数，并求以u=x^2+xy-y^2为实部的解析函数f（z）=u+iv，使合f（i）=-1+i.

正确答案：u是调和函数|C.-R.方程|代入

18、计算积分∫1-1|z|dz，积分路径是直线段。

正确答案：直线段方程|代入|1

19、计算积分∫1-1|z|dz，积分路径是上半单位圆周。

正确答案：上半单位圆周的方程|代入|2

20、求将上半z平面imz>0共形变换成单位圆|Ø|<1的分式线性变换ω=L（z），使合条件L（i）=0，argL（i）=2/π。